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专题15 动点综合问题
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【考试知识点1】动点之全等三角形问题
【例1】如图，直线
与
轴和
轴分别交于
两点，另一条直线过点
和点.
求直线
的函数表达式;
求证: 
;
若点
是直线上的一个动点，点
是轴上的一个动点，且以
为顶点的三角形与全等，求点的坐标.
【答案】 
; 
; 点的坐标为
或
或或
【分析】（1）在y=-
x+4中，令y=0，则0=-x+4，求得A（3，0），设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）在直线ABy=-x+4中，得到k1=-，在直线ACy＝x−
中，得到k2=，因为k1•k2=-1，即可得到结论；
（3）依据勾股定理得到AB=5，①当∠AQP=90°时，如图1，由全等三角形的性质得到AQ=OB=4，于是得到Q1（7，0），Q2（-1，0），②当∠APQ=90°时，如图2，依据全等三角形的性质得到AQ=AB=5，于是得到Q3（8，0），Q4（-2，0），③当∠PAQ=90°时，这样的情况没有．
【解析】（1）在y=-x+4中，
令y=0，则0=-x+4，
∴x=3，
∴A（3，0），
设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，
则：
，解得： 
，
∴直线AC对应的函数关系式为y＝x-.
在直线ABy=-x+4中，
∵k1=-，
在直线ACy＝x−中，k2=，
∴k1•k2=-1，
∴AB⊥AC；（3）在y=-x+4中，
令x=0，则y=4，
∴OA=3，OB=4，由勾股定理得AB=5，
①当∠AQP=90°时，如图1，∵△AOB≌△AQP，
∴AQ=OB=4，
∴Q1（7，0），Q2（-1，0），
②当∠APQ=90°时，如图2，∵△AOB≌△AQP，
∴AQ=AB=5，
∴Q3（8，0），Q4（-2，0）．
③当∠PAQ=90°时，这样的情况没有，
综上所述：点Q的坐标为：（7，0）（8，0）（-1，0）（-2，0）．
【点睛】考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的分析式，勾股定理的应用和全等三角形的性质等常识，分类讨论是解题重点，以防遗漏．
【变式1-1】）如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,伴随P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.
【答案】0；4；8；12
【分析】此题要分两种状况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种状况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可．
【解析】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，
∵AC＝2，
∴BP＝2，
∴CP＝6−2＝4，
∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；
②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP，
这个时候BC＝PN＝6，CP＝0，因此时间为0秒；
③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，
∵AC＝2，
∴BP＝2，
∴CP＝2＋6＝8，
∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；
④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP，
∵BC＝6，
∴BP＝6，
∴CP＝6＋6＝12，
点P的运动时间为12÷1＝12（秒），
故答案为：0或4或8或12．
【点睛】本题考查三角形全等的断定办法，断定两个三角形全等时需要有边的参与，若有两边一角对应相等时，角需要是两边的夹角．
【考试知识点2】动点之直角三角形问题
【例2】（模型打造）
（1）如图1，等腰直角三角形
中，，
，直线经过点
，过作
于点
，过
作
于点
.求证：
；
（模型应用）
（2）已知直线
：
与坐标轴交于点、，将直线绕点逆时针旋转
至直线，如图2，求直线的函数表达式；
（3）如图3，长方形，为坐标原点，点的坐标为
，点、分别在坐标轴上，点是线段
上的动点，点是直线
上的动点且在第四象限.若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标.
【答案】（1）见分析；（2）y＝−7x−21；（3）D（4，−2）或（，）.
【分析】（1）依据△ABC为等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可断定；
（2）①过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，依据△CBD≌△BAO，得出BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，求得C（−4，7），最后运用待定系数法求直线l2的函数表达式；
（3）依据△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，当点D是直线y＝−2x＋6上的动点且在第四象限时，分两种状况：当点D在矩形AOCB的内部时，当点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，−2x＋6），分别依据△ADE≌△DPF，得出AE＝DF，据此列出方程进行求解即可．
【解析】解：（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝90°，
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴（AAS）；
（2）①如图2，过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，
∴BD＝AO，CD＝OB，
∵直线l1：y＝x＋4中，若y＝0，则x＝−3；若x＝0，则y＝4，
∴A（−3，0），B（0，4），
∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，
∴OD＝4＋3＝7，
∴C（−4，7），
设l2的分析式为y＝kx＋b，则，
解得：
，
∴l2的分析式为：y＝−7x−21；
（3）D（4，−2）或（，）．
理由：当点D是直线y＝−2x＋6上的动点且在第四象限时，分两种状况：
当点D在矩形AOCB的内部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交BC于F，
设D（x，−2x＋6），则OE＝2x−6，AE＝6−（2x−6）＝12−2x，DF＝EF−DE＝8−x，
由（1）可得，△ADE≌△DPF，则DF＝AE，即：12−2x＝8−x，
解得x＝4，
∴−2x＋6＝−2，
∴D（4，−2），
此时，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合题意；
当点D在矩形AOCB的外部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设D（x，−2x＋6），则OE＝2x−6，AE＝OE−OA＝2x−6−6＝2x−12，DF＝EF−DE＝8−x，
同理可得：△ADE≌△DPF，则AE＝DF，即：2x−12＝8−x，
解得x＝，
∴−2x＋6＝，
∴D（，），
此时，ED＝PF＝，AE＝BF＝，BP＝PF−BF＝
＜6，符合题意，
综上所述，D点坐标为：（4，−2）或（，）
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质与全等三角形等有关常识的综合应用，解决问题的重点是作辅助线架构全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用．
